数学模型概述

描述系统性能的数学表达式，称系统的数学模型。

实际存在的许多工程控制系统，不管它是机械的、电气的、气动的、液动的、生物学的和经济学的等等，它们的动态性能都可以用数学表达式(即数学模型)来描述(例如微分方程、差分方程等)。

研究和分析一个系统性能是否满足要求，都是从数学模型的建立开始的。

同一个系统，可用不同的数学模型来表达，数学模型的复杂程度可以不同。例如，具体的物理系统总是非线性的，真正的系统数学模型应该是非线性的;而且严格地讲，具体物理系统的参数不可能都是集中参数，真正的系统数学模型又应该是偏微分方程。但是求解非线性方程和偏微分方程相当困难，有时甚至是不能求解。为使问题简化，通常在影响不大、误差允许的条件下，忽略次要因素，用简化的数学模型来表述实际的系统。

数学模型有多种形式。微分方程是数学模型，传递函数、状态变量表达式等也是数学模型。

建立数学模型的方法，有分析法和实验法。

建立数学模型的基本原则:

(1)全面考虑系统的特点和要求，分步建立数学模型。

(2)根据所应用的系统分析方法，建立相应的数学模型。

例如，在分析单输人和单输出线性系统时，建立微分方程，采用传递函数;在最优控制和多变量控制中，采用状态方程;而对离散系统则采用差分方程。

传递函数的要点

传递函数在经典理论中是一个很重要的函数，是常用的数学模型。

微分方程是动态系统的数学模型(时域t的模型);传递函数是静态系统的数学模型，它是复频域s的模型。

当系统参数结构变化时，利用传递函数可以研究其对系统性能的影响。

定义

在线性(或经线性化)定常系统中，当初始条件为O时，系统的输出与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。

典型环节及其传递函数

自动控制系统是由若干元件有机组合而成的。从结构及作用原理上看，有各种各样不同的元件，但从动态性能或数学模型来看，可分成几种基本环节，或称典型环节。不管元件是机械式、电气式还是液压式，只要它们的数学模型一样，它们就是同一种环节。这样划分，为系统的分析和研究带来很多方便，对理解和掌握各种元件对系统动态性能的影响也很有帮助。

系统的结构图及其传递函数

1.系统的结构图

自动控制系统可由若干环节按一定的作用关系组合而成。由具有一定函数关系的环节组成，并标明信号流向的系统框图，称为系统的结构图。

2.结构图的作法

(1)把元件看成典型环节或它们的组合;

(2)代人对应典型环节的传递函数;

(3)导出元件的变换关系，按信号的传递方向连接而成。

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